Оценка выборочной дисперсии - Курсы в вузах, использующие теорию вероятности и матстатистику: социально экономическая статистика
.RU

Оценка выборочной дисперсии - Курсы в вузах, использующие теорию вероятности и матстатистику: социально экономическая статистика



Оценка выборочной дисперсии:



- стандарт (выборочное стандартное –среднеквадратическое отклонение).

Удобная формула оценки дисперсии через оценку второго начального момента



^ Аналогично рассчитываются и другие выборочные оценки распределения


Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик

-оценки статистических характеристик

- с.в., характеризуемая законами распределения и числовыми характеристиками распределения (обычно математическим ожиданием и дисперсией).


^ Можно говорить о распределении оценки матожидания, о матожидании оценки матожидания, о дисперсии оценки матожидания и т.д.


1. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемой характеристике.


2.Оценка называется несмещенной, если .

- смещение, систематическая погрешность (от смещенности)

Асимптотически несмещенная оценка


3.Оценка называется эффективной, если при используемом методе ее расчета выполняется условие .

Пример1. Оценка является несмещенной, а ее дисперсия уменьшается при усреднении в раз:





Если ~- эффективная оценка.

В прикладной статистике и в эконометрике, наибольшее внимание уделяют обеспечению эффективности и несмещенности оценок.

Пример 2. Оценка дисперсии является смещенной:

Доказано, что - т.е. данный алгоритм дает смещенную оценку дисперсии: . Исправленная (несмещенная) оценка дисперсии

.

^ На практике исправленной оценкой дисперсии пользуются при


Интервальная оценка точности (надежность) генеральных

математического ожидания и дисперсии

Доверительный интервал - интервал значений, в котором с заданной доверительной вероятностью (обычно назначают ) находится истинное значение оцениваемой статистической характеристики : .


Радиус доверительного интервала равен:,

- аргумент, соответствующий значению функции Лапласа, равной :

; - среднеквадратическое отклонение (его оценка).

Доверительный интервал случаен (зависит от конкретных выборок): случайно его положение на числовой оси и случайна его длина.

При , а при


Доверительный интервал для оценки математического ожидания



Здесь рассматривается как аргумент табулированной функции распределения Лапласа (нормальной !), при котором она равна значению : .

Значение генерального среднеквадратического отклонения редко известно, поэтому обычно в формуле используют оценку среднеквадратического отклонения, т.е. .

Пример:~ Найти доверительный интервал для оценки неизвестного , при выборочном среднем , если объем выборки n=36, а .



Замечание. Практически важной может быть задача определения объема выборки, которая обеспечит заданный радиус доверительного интервала: .

Более точные результаты при малых объемах выборки и неизвестном дает использование распределения Стьюдента: для переменной - , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы отклонение (~) Тогда доверительный интервал при неизвестном среднеквадратическом отклонении определяется следующим образом: , где аргумент табулированного распределения Стьюдента.


Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения

Пусть вновь ~, и - неизвестно, а . Тогда

где .

Доказано, что имеет табулированное распределение , независящее от параметров и исходного распределения, но зависящее от объема выборки и доверительной вероятности. Вычислив по выборке , находим по таблице , определяем границы доверительного интервала.


Методы оценки параметров известного распределения

Пусть - с.в.; - выборка; - известный вид распределения с.в., - неизвестные параметры. Например,



Существуют два основных метода оценки параметров (параметризации):

1.Метод моментов (Пирсона)

Метод исходит из того, что оценки начального и центрального моментов распределения являются состоятельными оценками соответствующих начальных и центральных моментов. Это дает право приравнять соответствующие эмпирические и теоретические моменты, для точечной оценки параметров, например:





При этом надо получить не менее, чем уравнений для определения параметров распределения. Выбор начальных или центральных моментов должен производиться исходя из простоты вычислений эмпирических моментов и простоты аналитического выражения теоретических моментов.

Пример 1.



Пример 2. .



Достоинство метода моментов – простота.


2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)

На основе выборки составляется функция правдоподобия:

,

где - есть вероятность того, что первое наблюдение равно , при векторе параметров , а - вероятность того, что второе наблюдение равно , при векторе параметров и т.д.

В качестве точечной оценки вектора параметров принимают такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума.

Чаще для удобства вычислений берут вместо функции правдоподобия ее логарифм: - логарифмическая функция правдоподобия.

И функция правдоподобия, и логарифмическая функция правдоподобия достигают максимума при одном и том же значении вектора параметров .

Последовательность действий при реализации метода максимального правдоподобия:

1. ;

2. ;

3. - уравнение правдоподобия; - корень уравнения.

4. .


Достоинства метода максимального правдоподобия:

1.оценки состоятельны;

2.оценки распределены асимптотически нормальны (при закон распределения оценок стремится к нормальному);

3.оценки имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками (эффективность является важнейшим свойством оценок в экономике).

4. Метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно полезен в случае малых выборок.


Недостатки метода максимального правдоподобия:

1.сложность вычислений;

2.возможна смещенность оценок параметров распределения.


Парная линейная регрессия

- парная регрессия

- генеральная () линейная регрессия на ,

- - неслучайные величины;

- выборочная () линейная регрессия на ,

- - с.в., характеризующиеся распределением и числовыми характеристиками (матожиданием и дисперсией);

- парная линейная регрессия на

Если число объясняющих переменных велико, то говорят о множественной регрессии.

Если условное ожидание объясняемой переменной нелинейно зависит от объясняющих переменных, то говорят о криволинейной регрессии.






- невязка


1. - не может выступить в качестве метрики (компенсация знаков)

2. - метод наименьших квадратов (МНК) (>200 лет)

3. - метод наименьших модулей (МНМ)

- квадратическая функция потерь (зависит от выбора параметров ), неотрицательна, ограничена снизу.

Система нормальных уравнений:

- необходимое условие существования экстремума двух переменных

приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

второго порядка






МНК дает оптимальные (эффективные, состоятельные, несмещенные) оценки (т.е. ) при соблюдении следующих условий (условий Гаусса-Маркова):


1. - невязка является центрированной с.в.;

2. - при выполнении этого условия невязка гомоскедастична, в противном случае – гетероскедастична);

Гетероскедастичность (неравноточность оценок по оси аргумента) является одним из наиболее нежелательных и, силу этого, специальными приемами обеспечиваемых свойств в прикладной статистике и в эконометрике.



3. - некоррелированность невязок;

4. ~

- несмещенность, эффективность оценок


Множественная линейная регрессия

,

где - факторы (объясняющие переменные); - показатель (объясняемая переменная); - коэффициенты регрессии, определяемые при помощи МНК (через СЛАУ – - порядка).

Коэффициенты имеют разную размерность и поэтому не сравнимы друг с другом. Для сравнения степени влияния различных факторов используют стандартизированный коэффициент регрессии : .

Коэффициент эластичности говорит о том, что при отклонении данного фактора от средней величины на 1% (при постоянстве других факторов), параметр отклоняется от своего среднего значения на %. Возможна точечная и интервальная оценки точности .

Пример. Анализируется деятельность 16 с/х предприятий.

 

^ Валовой доход руб./га




Затраты труда человек, день/га




Доля пашни, %,



Надой молока на 1 корову кг



1

704

265

451

3422

2



















16

1138

267

38,8

5526

;

Величина валового дохода на 1 га с/х угодий:

-в среднем увеличилась на 5,26 руб. при увеличении затрат на 1чел.ден/га;

-уменьшается в среднем на 4,31 руб. при увеличении доли пашни в угодьях на 1%;

-увеличивается на 0,166 руб. при росте надоя молока на 1 корову на 1 кг.

Отрицательное значение сигнализирует о неблагополучии в экономике изучаемых хозяйств, где растениеводство убыточно, а прибыльно только животноводство.

Свободный член выполняет роль доводки соотношения между средними величинами и экономического смысла не имеет. Самое сильное влияние на величину валового дохода оказывает фактор - продуктивность коров.

^ Стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности для данной задачи равны сведены в следующую таблицу


 

 

 



0,352

0,816



-0,206

-0,385



669

0,996


Мера тесноты связи факторов - корреляционная матрица, используемая для предварительного отбора факторов для включения их в уравнение регрессии



















1















1































1































1


Не рекомендуется включать в уравнение регрессии факторы, слабо связанные с показателем (в качестве критерия можно использовать неравенство ), но тесно связанные с другими факторами.

Например, мы имеем , . Тогда фактор включать не следует, т.к. он тесно связан (коллинеарен) с фактором : .

Мультиколлинеарность – явление линейной связи между собой нескольких факторов. Если ее не устранить, то МНК не дает решения или решение неустойчиво. Неустойчивость означает существование изменения результатов решения при малом изменении выборки.


Коэффициент детерминации регрессий

Для линейной парной регрессии вводят критерий точности модели: коэффициент детерминации




где - невязка; .


Содержание : показывает отношение части вариации объясняемой переменной за счет воздействия вариации факторов, входящих в уравнение регрессии, к общей вариации объясняемой переменной относительно математического ожидания.

^ Для множественной линейной регрессии коэффициент детерминации показывает степень тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с определяемой переменной .

, где , .

При помощи данной формулы можно определить , не вычисляя значений . При этом, если величина не удовлетворяет исследованию, то можно прекратить вычисления . Данное обстоятельство имеет значение, если выборка велика (сотни и тысячи наблюдений).

Для случая двух факторов коэффициент множественной детерминации вычисляется по формуле:.

Если - то, за счет вариации факторов объясняется 57,65% вариации .

Известны и более тонкие характеристики связи:

Используется коэффициент раздельной детерминации:

,

где - коэффициент парной корреляции, - стандартизированный коэффициент детерминации.

Например, если

то можно утверждать, что за счет вариации объясняется 24,18% вариации , а за счет вариации - 7,31%, за счет вариации - 58.3%.

.

Применяют и коэффициент частной детерминации с корректируемым коэффициентом детерминации.

Кроме количественных факторов могут рассматриваться и неколичественные (качественные).

Например, рассмотренная выше зависимость потребления (спроса на благо) может определяться не только доходом потребителей, но и вкусами, национальными, религиозными особенностями, полом, наличием образования и т.д.


Фиктивные переменные


Фиктивная (искусственная, двоичная) переменная (индикатор):

.

Можно ввести и несколько фиктивных переменных при возможности градации качественных факторов.

Пример: Пусть имеется 3 количественных фактора урожайности и 3 природных зоны, которые существенно влияют на урожайность. Уравнение регрессии можно представить в виде: .


Зоны

урожай-ности

Опреде-ляемые факторы

Факторы

Фиктивные переменные











1









0

0









0

0





















0

0

2









1

0





















1

0

3










0

1





















0

1


Уравнения регрессии для зон: 1. ;

2. ;

3. .

Величина коэффициента означает, что все единицы второй зоны при тех же значениях количественных факторов, что и в первой зоне, будет иметь среднее значение на единиц > (<), чем в первой зоне.

Число фиктивных переменных должно быть на единицу меньше числа градации факторов.

В ряде случаев статистическая связь может показывать так называемую «ложную корреляцию», когда и объясняемые переменные, и объясняющие переменные испытывают общее влияние от некоторого фактора, например времени.

^ Пример «ложной корреляции»: Количество санаториев со временем растет, как и количество студентов. какой правильный вывод можно сделать?




Литература

  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.Высшая школа. 2003

  2. Теория статистики/ Р.А. Шмойлова и др. М.: Финансы и статистика. 2004.

  3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика. 2004.

  4. Вентцель Е.С. Теория вероятности. (Любой год издания)И. Грекова. Дамский мастер и др.



ocenka-fiziologicheskogo-sostoyaniya-rib-obektov-akvakulturi-pri-razlichnih-stressornih-vozdejstviyah-i-poisk-adaptogenov.html
ocenka-funkcionalnogo-sostoyaniya-osnovnih-sistem-organizma.html
ocenka-gosudarstvennoj-podderzhki-selskogo-hozyajstva-v-uralskom-regione-po-metodologii-vto-vozmozhnie-puti-restrukturizacii.html
ocenka-hozyajstvennogo-riska-vidi-poter-i-metodi-ih-ocenki.html
ocenka-i-analiz-i-v-krilov-rukovoditel-izdatelskogo-proekta-kand-sociol-nauk.html
ocenka-i-povishenie-effektivnosti-osnovnih-proizvodstvennih-fondov.html
  • urok.bystrickaya.ru/pravoslavie-molodezh-i-budushee-rossii-kongress-sostoitsya-na-baze-spb-duhovnih-akademii-i-seminarii-i-spb-gos-universiteta-tehnologii-i-dizajna.html
  • lesson.bystrickaya.ru/processori-evm-chast-3.html
  • klass.bystrickaya.ru/6-specifika-i-poryadok-naznacheniya-sudebno-psihologicheskoj-ekspertizi-nagaev-v-v-n16-osnovi-sudebno-psihologicheskoj.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sochinenie-uchenici-11-klassa-kolomijcevoj-tatyani-i-eshyo-odin-dar-dala-nam-nasha-rossiya-eto-nash-divnij-nash-moguchij-nash-poyushij-yazik-i-ilin.html
  • writing.bystrickaya.ru/glava-1-obo-vseh-imenah-prevoshodnogo-svojstva-bazovoj-opori-buddizm.html
  • grade.bystrickaya.ru/nash-zemlyak-alihan-bukejhanov.html
  • urok.bystrickaya.ru/prakticheskoe-posobie-dlya-aktivistov-i-organizacij-grazhdanskogo-obshestva-rabotayushih-s-socialno-nezashishyonnimi-i-socialno-isklyuchyonnimi-kategoriyami-naseleniya-stranica-2.html
  • shkola.bystrickaya.ru/nivelirovanie-trassi.html
  • literature.bystrickaya.ru/dobicha-i-obogashenie-rudnih-i-rossipnih-poleznih-iskopaemih-spravochnik-rabot-i-professij-rabochih-vipusk-4-razdeli.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zhitie-prepodobnogo-otca-nashego-pimena-mnogoboleznennogo-zhitiya-svyatih.html
  • tasks.bystrickaya.ru/25-proverka-shinnih-konstrukcij-gibkih-provodnikov-i-elektricheskih-apparatov-na-elektrodinamicheskuyu-stojkost-pri-kz.html
  • occupation.bystrickaya.ru/obshaya-harakteristika-rimskoj-filosofii.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sozdanie-planeti-i-zhizni-na-nej.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sekciya-svojstva-nanostruktur-i-neuporyadochennih-sred-programma-itogovoj-konferencii-.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zasedanie-zhyuri-konkursa-kompyuternogo-marafona-metodicheskaya-kopilka.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kalendarnij-plan-meropriyatij-po-podgotovke-i-provedeniyu-dosrochnih-viborov-glavi-vertikosskogo-selskogo-poseleniya.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rastirushi-itanu-kafedrasini-aa-oitushisi-haliarali-i-magistr-ergalimova-a-n-2015zh.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-ii-istoriya-i-legenda-dvadcatie-pyatidesyatie-godi-v-amerike-stali-vremenem-rascveta-populyarnih-zhurnalov-dlya.html
  • notebook.bystrickaya.ru/hotite-uvelichit-razmer-pensii-regions-ru-6-v-yugre-nachala-rabotu-vserossijskaya-konferenciya-po-negosudarstvennomu.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/gormonalnaya-kontracepciya-kak-metod-reabilitacii-posle-abortov.html
  • letter.bystrickaya.ru/netradicionnie-istochniki-energii-kak-strategiya-energosberezheniya.html
  • tests.bystrickaya.ru/kolichestvo-zadanij-v-test-bilete-90-programma-naimenovanie-disciplini-virusologiya-i-biotehnologiya-rekomenduetsya.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/punkt-11-povestki-dnya-ocenka-riskov-i-regulirovanie-riskov-stati-15-i-16.html
  • credit.bystrickaya.ru/p-sihologicheskij-aspekt-v-motivacii-izucheniya-ispanskogo-kak-vtorogo-inostrannogo-yazika-annotaciya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskoe-posobie-moskva-2008-psihologicheskoe-obespechenie-profilaktiki-narushenij-sluzhebnoj-disciplini-v-organah-vnutrennih-del-uchebno-metodicheskoe-posobie-stranica-4.html
  • tasks.bystrickaya.ru/2-tehnologicheskoe-primenenie-elektronnih-puchkov-metodicheskie-rekomendacii-dlya-prepodavatelya-disciplina-estestvennonauchnie.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/voditelnic-a-pod-zvezdoyu-materi-mira-vmesto-predisloviya.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/urok-po-okruzhayushemu-miru-po-teme-puteshestvie-po-moskve-moskovskij-kreml.html
  • writing.bystrickaya.ru/dialog-sokrata-i-chuzhezemca-v-traktate-platona-politik-ili-gosudarstvo.html
  • universitet.bystrickaya.ru/svedeniya-o-sudebnih-processah-v-kotorih-kreditnaya-organizaciya-emitent-uchastvuet-v-kachestve-otvetchika.html
  • letter.bystrickaya.ru/mmk-sovershenstvuet-sistemu-korporativnogo-upravleniya.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/vtoraya-neftegazovaya-konferenciya-ekobezopasnost-2011.html
  • knigi.bystrickaya.ru/shoo-6.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zharatilistanu-matematikali.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-anglijskij-yazik-dlya-napravleniya-030400-62.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.